Question

在⊙O中，AB是直径，CD是弦（非直径），AB⊥CD，现有直线k经过点D旋转交⊙O于P，当直线k经过点A时（如图1）易证：∠DPB+∠C=90°．
（1）当点P在

AC

上时（如图2），“∠DPB+∠C=90°”还成立吗？试证明你的结论；
（2）在直线k绕点D旋转的过程中（不考虑P与B或D重合的情形），∠DPB与∠C有几种不同的数量关系？写出与“∠DPB+∠C=90°”不同的关系式（仍用等式表示），并说明点P相应的位置和理由．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理可得∠DPB=∠A；然后根据垂径定理、直角三角形的两个锐角互余的性质证得该结论成立；
（2）有两种不同的数量关系：“∠DPB+∠C=90°”和“∠DPB-∠C=90°”．连接AP，BP．由圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）推知∠BPA=90°，由等弧所对的圆周角相等证得∠C=∠APD；然后根据图形中的相关角间的数量关系知∠BPD=∠BPA+∠APD，即∠BPD-∠C=90°．

解答：（1）如图1所示：点在

AC

上时，∠DPB+∠C=90°，仍成立．
证明：∵AB⊥CD，∴CE=DE，
∴

CB

=

DB

，
∵∠DPB=∠A（等弧所对的圆周角相等）；
又∵∠A+∠C=90°，
∴∠DPB+∠C=90°（等量代换）；

（2）有两种不同的数量关系：“∠DPB+∠C=90°（如图1所示）”和“∠DPB-∠C=90°（如图2所示）”．
当点P在

BD

上时，∠DPB-∠C=90°；
证明：连接AP，BP．∠BPD=∠BPA+∠APD，
∵AB是直径，
∴∠BPA=90°；
∵∠C=∠APD，
∴∠BPD=90°+∠C，即：∠BPD-∠C=90°．

点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．