Question

阅读下面的文字，回答后面的问题．
求3+3²+3³+…+3¹⁰⁰的值．
解：令S=3+3²+3³+…+3¹⁰⁰（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=3²+3³+3⁴+…+3¹⁰¹（2），（2）-（1）得到：2S=3¹⁰¹-3
∴S=

3101-3

2

∴3+3²+3³+…+3¹⁰⁰=

3101-3

2

问题（1）2+2²+…+2²⁰¹¹的值为

2²⁰¹²-2

；（直接写出结果）
（2）求4+12+36+…+4×3⁵⁰的值；
（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）根据题中所给的S的表达式及同底数幂的乘法法则求出2S的表达式，再把两式相减即可求出S的值；
（2）先求出3+32+33+…+340的值，再乘以4即可求出4+12+36+…+4×340的值；
（3）由题意可知一直作图到第10个图形为止的所有的等腰直角三角形的所有边长之和可以根据同底数幂的乘法法则求出 2S的表达式，再把两式相减即可求出S的值，从而所有的等腰直角三角形的所有边长之和．

解答：解：（1）2²⁰¹²-2（3分）

（2）令S=4+12+36+…+4×3⁵⁰ ①，
将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×3⁵¹ ②，
②-①得到：2S=4×3⁴¹-4
∴S=2×3⁵¹-2
∴4+12+36+…+4×3⁵⁰=2×3⁵¹-2（9分）

（3）

( 2 )9- 2

2 -1

（12分）

点评：本题考查的是有理数的乘方及同底数幂的乘法法则，根据题意求出乘以底数后和的表达式是解答此题的关键．