Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）如果tan∠CAO=$\frac{1}{3}$，求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．
（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题．

解答 解：（1）如图作OM⊥AB于M，
∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC=OM，
∴AB是⊙O的切线，
（2）设BM=x，OB=y，则y²-x²=1    ①，
∵cosB=$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{y+1}{x+3}$，
∴x²+3x=y²+y    ②，
由①②可以得到：y=3x-1，
∴（3x-1）²-x²=1，
∴x=$\frac{3}{4}$，y=$\frac{5}{4}$，
∴cosB=$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型．