Question

如图，已知抛物线y＝ax²＋2x＋c的顶点为A(―1，―4)，与y轴交于点B，与x轴负半轴交于点C．

（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）点P为第三象限内抛物线上的一动点，连接BC、PC、PB，求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）点E为抛物线上的一点，点F为x轴上的一点，若四边形ABEF为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．

Answer 1

（1） （2），P（） 
（3）（――1， 1）、（―1， 1）

试题分析：（1）因为y＝ax²＋2x＋c的顶点为A(―1，―4)
所以，解得
将A(―1，―4)代入y＝ax²＋2x＋c
所以c=-3
所以该函数解析式为

（2）如图，连接OP，

设点P（m，），（―3＜m＜0）
∴S_△PBC＝S_△OPC＋S_△OPB―S_△BOC
＝×3×（）＋×3×（―m）―×3×3
＝―m―m
＝―
∴当m＝―，即P（）
∴S_△PBC有最大值为．
（3）抛物线y＝ax²＋2x＋c与y轴交于点B，与x轴交于点C、D
所以B（0，-3），C（-3,0），D（1,0）
因为点E为抛物线上的一点，点F为x轴上的一点
若四边形ABEF为平行四边形
则E可为（――1， 1）、（―1， 1）
本题涉及了二次函数的解析式和几何意义，该题是常考题，主要考查学生对二次函数解析式系数与图像的关系，明确在直角坐标系中几何图形的意义。