Question

11．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是AD边上一动点（不与点A，D重合 ），过A、E、C三点的⊙O交AB延长线于点F，连接CE、CF．
（1）求证：△DEC∽△BFC；
（2）设DE的长为x，△AEF的面积为y．
①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值；
②连接AC，若△ACF为等腰三角形，求x的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接EF．首先证明EF是⊙O直径，推出∠ECF=90°，由∠DCB=∠ECF，推出∠DCE=∠BCF，由∠D=∠CBF，即可证明△DEC∽△BFC．
（2）①由△DEC∽△BFC，得$\frac{DE}{BF}$=$\frac{CD}{CB}$，求出BF，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
②分三种情形讨论即可解决问题．a、当AC=AF=$\sqrt{5}$时．b、当CA=CF时，易知AB=BF=1，c、当FC=FA时，则有（2x）²+2²=（1+2x）²．

解答 （1）证明：如图1中，连接EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，AD=BC=2，∠A=∠D=∠DCB=∠ABC=∠CBF=90°，
∴EF是⊙O直径，
∴∠ECF=90°，
∴∠DCB=∠ECF，
∴∠DCE=∠BCF，∵∠D=∠CBF，
∴△DEC∽△BFC．

（2）①∵△DEC∽△BFC，
∴$\frac{DE}{BF}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{x}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=2x，AF=1+2x，
∴y=$\frac{1}{2}$•AE•AF=$\frac{1}{2}$（2-x）（1+2x）=-x²+$\frac{3}{2}$x+1=-（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{25}{16}$，
∵-1＜0，
∴当x=$\frac{3}{4}$时，y有最大值．

②如图2中，a、当AC=AF=$\sqrt{5}$时，
∵BF=2x=$\sqrt{5}$-1，
∴x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
b、当CA=CF时，易知AB=BF=1，
∴2x=1，
∴x=$\frac{1}{2}$．
c、当FC=FA时，则有（2x）²+2²=（1+2x）²，
解得x=$\frac{3}{4}$，
综上所述，△ACF为等腰三角形，x的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查圆综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．