Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y＝mx2＋4mx＋4m＋1的图象的顶点，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．

（1）请你求出点A、B、C的坐标；

（2）若二次函数y＝mx2＋4mx＋4m＋1与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（－4，0）和B（0，4）；（2）或

【解析】

（1）抛物线解析式配方后，确定出顶点C坐标，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B坐标；

（2）分m＞0与m＜0两种情况求出m的范围即可．

解：（1）y＝mx2＋4mx＋4m＋1＝m（x＋2）2＋1，

∴抛物线顶点坐标为C（－2，1），

对于y＝x＋4，令x＝0，得到y＝4；y＝0，得到x＝－4，

直线y＝x＋4与x轴、y轴交点坐标分别为A（－4，0）和B（0，4）；

（2）把x＝－4代入抛物线解析式得：y＝4m＋1，

①当m＞0时，y＝4m＋1＞0，说明抛物线的对称轴左侧总与线段AB有交点，

∴只需要抛物线右侧与线段AB无交点即可，

如图1所示，

只需要当x＝0时，抛物线的函数值y＝4m＋1＜4，即，

则当时，抛物线与线段AB只有一个交点；

②当m＜0时，如图2所示，

只需y＝4m＋1≥0即可，

解得：，

综上，当或时，抛物线与线段AB只有一个交点．