Question

在△ABC中AB=BC，∠ABC=20°，在AB边上取一点M，使BM=AC．求∠AMC的度数．

Answer 1

分析：以BC为边在△ABC外作正△KBC，连接KM，则可证明△KBM≌△BAC，∠BKM=20°，于是得到B、M、C在以K为圆心的圆上，从而∠BCM=

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∠BKM=10°，得∠AMC=30°．

解答：解：以BC为边在△ABC外作正△KBC，连接KM，如图
∵AB=BC，∠ABC=20°，
∴∠BAC=∠BCA=

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（180°-20°）=80°，
∵△KBC为等边三角形，
∴BK=BC=BA，且∠KBM=20°+60°=80°，
而BM=AC，
∴△KBM≌△BAC，
∴∠BKM=20°，KM=BC=BK=KC，
∴B、M、C在以K为圆心的圆上，
∴∠BCM=

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∠BKM=10°，
∴∠AMC=∠BCM+∠ABC=10°+20°=30°．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了辅助线的作法和三角形全等的判定和性质．