Question

【题目】张老师给爱好学习的的小军和小俊提出这样一个问题：如图（1），在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD＋PE＝CF．

小军的证明思路是：如图（2），连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD＋PE＝CF．

老师表扬了小军，并且告诉小军和小俊：在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这种方法称为“面积法”.

请你使用“面积法”解决下列问题：

（1）Rt△ABC两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为 ；

（2）如图（3），△ABC中AB=15，BC=14，AC=13，AD是BC边上的高.求AD长及△ABC的内切圆的半径；

（3）如图（4），在四边形ABCD中，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O1与△ABD切点分别为E、F、G，设它们的半径分别为r1和r2，若∠ADB=90°，AE=8，BC+CD=20，S△DBC=36，r2=2，求r1的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）AD=12，内切圆半径为4；（3）2.

【解析】

（1）由勾股定理求出 ，设半径是r，根据面积法

，分别代入化简可得；

（2）由勾股定理得，代入求出，

设半径是r ，根据面积法，代入化简可得；

（3）由（2）可知，设半径是r ，根据面积法可得 ，

则利用已知可以求出，⊙O1是△ABD的内切圆，可知，，，设，利用勾股定理得，则可得出，

，代入即可求出。

（1）

如图示，Rt△ABC中，AB=4，BC=3，⊙O是内切圆

∴

设⊙O的半径是r ，由面积法可得：

即：

∴

∴

∴

（2）

如图示，设，则，并且AD是BC边上的高，

∴由勾股定理得：

即：，

解之得：

∴ ， ，

∴设⊙O的半径是r ，由面积法可得：

即：

∴

解之得：

（3）

由（2）可知，设半径是r ，根据面积法可得：

即：，

已知，，，

∴，即，

∵⊙O1是△ABD的内切圆，
∴，，，
∴，
∴设，则， ，，
∵，
∴，即，

解得，
∴，

∴