Question

已知关于x的一元二次方程x²-（3m+1）x+2m²+m=0．
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,三角形三边关系,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）先计算△=（3m+1）²-4（2m²+m），整理得到△=（m+1）²，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求出方程的解为x₁=m，x₂=2m+1，然后分类讨论：AB=m，AC=2m+1，当AB=AC或AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出m的值．

解答：（1）证明：∵a=1，b=-（3m+1），c=2m²+m，
∴△=（3m+1）²-4（2m²+m）=m²+2m+1=（m+1）²≥0
所以无论k取何值，这个方程总有实数根；

（2）解：一元二次方程x²-（3m+1）x+2m²+m=0的解为x₁=m，x₂=2m+1，
当AB=m，AC=2m+1，且AB=AC，即m=2m+1时，△ABC是等腰三角形，则m=-1，不合题意舍去；
当AB=m，AC=2m+1，且AB=BC=3时，△ABC是等腰三角形，则m=3，不合题意舍去；
当AB=m，AC=2m+1，且AC=BC=3时，△ABC是等腰三角形，则2m+1=3，解得m=1，符合题意．
所以m的值为1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．