Question

如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。求证：

（1）DE是⊙O的切线；
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．本题可根据等腰三角形中两底角相等，将相等的角进行适当的转换，即可证得OD⊥DE；
（2）求DG就是求DF的长，在直角三角形DFO中，有OD的值，∠DOF的值也容易求得，那么DG的值就求得了．
试题解析：证明：连接OD，

∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DOF=∠A+∠ADO=60°，
在Rt△DOF中，OD=4，
∴DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=．
∵直径AB⊥弦DG，
∴DF=FG．
∴DG=2DF=．
考点: 1.切线的判定；2.垂径定理；3.解直角三角形．