Question

【题目】一般地，对于已知一次函数y1=ax+b，y2=cx+d（其中a，b，c，d为常数，且ac＜0），定义一个新函数y=，称y是y1与y2的算术中项，y是x的算术中项函数．

（1）如：一次函数y1=x﹣4，y2=﹣x+6，y是x的算术中项函数，即y=．

①自变量x的取值范围是　 　，当x=　 　时，y有最大值；

②根据函数研究的途径与方法，请填写下表，并在图1中描点、连线，画出此函数的大致图象；

x	8	9	10	12	13	14	16	17	18
y	0	1.2	1.6		2.04	2		1.2	0

③请写出一条此函数可能有的性质　 　；

（2）如图2，已知一次函数y1=x+2，y2=﹣2x+6的图象交于点E，两个函数分别与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，D，y是x的算术中项函数，即y=．

①判断：点A、C、E是否在此算术中项函数的图象上；

②在平面直角坐标系中是否存在一点，到此算术中项函数图象上所有点的距离相等，如果存在，请求出这个点；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】①8≤x≤18，13；②2，1.7，画图见解析；③8＜x＜13时，y随x的增大而增大和13＜x＜18时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（2）①点A、C、E在此算术中项函数的图象上；②存在，（﹣，0）

【解析】

（1）①转化为二次不等式求出c的取值范围，利用二次函数的性质求出最大值．

②把x=12，x=16代入函数解析式求函数值即可，利用描点法画出函数图象即可．

③观察函数图象，写出函数的性质即可．

（2）①求出A，C，E的坐标，利用待定系数法判断即可．

②不存在，首先根据A，E，C确定这个点的坐标，然后取x=0，求出算术中项函数图象上的点的坐标验证即可．

解：（1）①由题意（x﹣4）（﹣x+6）≥0，

解得8≤x≤18，

∵y=，

∵﹣＜0，

∴x=13时，y有最大值，最大值为．

故答案为8≤x≤18，13．

②x=12时，y==2，

x=16时，y=≈1.7

故答案为2，1.7．

函数图象如图所示：

③性质：8＜x＜13时，y随x的增大而增大和13＜x＜18时，y随x的增大而减小；

故答案为：8＜x＜13时，y随x的增大而增大和13＜x＜18时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；

（2）①由题意E（，），A（﹣4，0），C（3，0），

对于函数y=，

当x=时，y=，

∴点E在这个函数的图象上，

当x=﹣4时，y=0，

∴点A在这个函数的图象上，

当x=3时，y=0，

∴点C在这个函数的图象上．

②不存在，由图2可知，∵AE⊥EC，

∴∠AEC=90°，

到A，C，E距离相等的点是AC的中点T（﹣，0），这个距离是3.5，

∵算术中项函数图象上的点P[x，]，

PT=，

∴存在这样的点（﹣，0）到此算术中项函数图象上所有点的距离相等．