Question

【题目】如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．

（1）求证：四边形AECG是平行四边形：

（2）若AB=8cm，BC=6cm，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=3cm．

【解析】

（1）根据矩形的性质和折叠的性质求得AB∥CD，AG∥CE，即可证明四边形AECG是平行四边形；

（2）根据勾股定理求出AC的长，再根据CF=BC求出AF的长，设EF=BE=x，则AE=8﹣x，由勾股定理得EF2+AF2=AE2，代入求出x的值即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA．

由折叠可知∠1，∠2，

∴∠1=∠2，

∴AG∥CE，

又∵AE∥CG，

∴四边形AECG是平行四边形；

（2）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，

由勾股定理可得：AC10，

又∵CF=BC，

则AF=AC﹣CF=4．

设EF=BE=x，则AE=8﹣x，

在Rt△AFE中，由勾股定理得EF2+AF2=AE2，

即x2+42=(8﹣x)2，

解得：x=3，

即EF=3cm．