Question

【题目】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．

（1）当∠MAN绕点A旋转到如图1的位置时，求证：BM+DN＝MN；

（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是　 　；

（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN，理由详见解析.

【解析】

（1）延长CB至E使得BE＝DN，连接AE，连接AC，证明△ABE≌△AND和△EAM≌△NAM，得到MN＝ME，即可证明BM+DN＝MN；

（2）延长CB至E，使得BE＝DN，连接AE，证明△ABE≌△AND和△EAM≌△NAM，MN＝ME，即可证明BM+DN＝MN；

（3）在DC上截取DE=BM，连接AE，可前面知△ABM≌△ADE，进一步可证明△MAN≌△EAN，可得到MN=NE，从而可得到DN-BM=MN．

（1）证明：如图1，延长CB至E使得BE＝DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，

在△ADN和△ABE中

∵，

△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，

∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

，

∴△EAM≌△NAM，

∴MN＝ME，

∵ME＝BM+BE＝BM+DN，

∴BM+DN＝MN；

（2）解：线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN＝MN，理由如下：

延长CB至E，使得BE＝DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，

在△ADN和△ABE中，

∵，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，

∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

，

∴△EAM≌△NAM，

∴MN＝ME，

∵ME＝BM+BE＝BM+DN，

∴BM+DN＝MN，

故答案为：BM+DN＝MN；

（3）DN﹣BM＝MN，理由如下：

如图3，在DC上截取DE＝BM，连接AE，

由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），

∴∠DAE＝∠BAM，AE＝AM，

∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠EAN＝∠MAN．

∵在△MAN和△EAN中，

，

∴△MAN≌△EAN（SAS），

∴EN＝MN，

即DN﹣DE＝MN，

∴DN﹣BM＝MN．