Question

14．如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，
（1）求证：DC=AD；
（2）若BC=21，AB=9，AD=10，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）若要证明DC=AD直接证明有一定的难度，所以这时应给它们找一个中介线段，在BC上截取BE=BA，根据已知条件证明△BAD≌△BED，所以DA=DE，再证DE=DC，即AD=CD．
（2）由（1）得知△DEC为等腰三角形，且根据全等三角形的性质知BA=BE=9、AD=DC=10、EC=12，可通过作DF⊥BC构建直角三角形，利用勾股定理求解可得．

解答 证明：在BC上截取BE=BA，连接DE，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△BAD和△BED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BA=BE}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BED（SAS），
∴DA=DE，∠A=∠BED，
∵∠BED+∠DEC=180°，∠A+∠C=180°，
∴∠C=∠DEC，
∴DE=DC，
∴DC=AD．

（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵△BAD≌△BED，
∴BA=BE=9、AD=DC=10，
∵BC=21，
∴EC=12，
∵DE=DC，
∴EF=FC=$\frac{1}{2}$EC=6，
在Rt△DFC中，DF=$\sqrt{D{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
在Rt△BDF中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（9+6）^{2}+{8}^{2}}$=17．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．