Question

某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润=销售价-进货价）
（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？

Answer 1

分析：（1）原价为29万元，降价x万元，现在售价为（29-x）万元，又进货价为25万元，根据销售利润=销售价-进货价，列出y关于x的关系式，并根据y大于等于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集再根据x大于0得到x的范围；
（2）设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，根据销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，由降价x万元除以0.5，商是几，可得出每周多售几个4辆，进而得出现在的销售量，用y乘以销售量表示出z，把第一问得出的y代入，得到z关于x的二次函数，配方后根据二次项的系数小于0，得到抛物线开口向下，令z=48求出对应的x的值，由x的值根据二次函数的图象与性质得出满足题意的x的范围．

解答：解：（1）由题意得：
y=29-25-x，
∴y=-x+4（0≤x≤4）；

（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，
则z=（8+

x

0.5

×4）y=（8x+8）（-x+4）=-8x²+24x+32=-8（x-

3

2

）²+50，

当z=48时，-8x²+24x+32=48，
解得：x₁=1，x₂=2，
观察图形知，当1≤x≤2时，即销售价格在27万元至28万元之间时（含27万、28万元）该汽车城平均每周的利润不低于48万元．

点评：此题属于一次函数与二次函数的综合题，解此类题的应注意：（1）求解策略与方程解应用题基本相同，其关系是要根据题意，寻求等量关系，不过这里应注意自变量的取值范围；（2）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题一般是求函数的最值，但有时要根据自变量的取值范围和函数的增减性确定；（3）解决实际问题时的基本思路：理解问题、分析问题中的常量和变量、用函数表达式表示出它们之间的关系、利用二次函数的有关性质进行求解、检验结果的合理性．