Question

如图，直线y=mx+3与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于A，B两点，与x轴y轴分别交于点C、D，AD=AB，AF⊥y轴于F，BE⊥x轴于E，FA的延长线与EB的延长线交于点G．
（1）求证：A，B分别为FG、EG的中点．
（2）当S_△OAB=3时，求双曲线的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用“角角边”证明△ADF和△ABG全等，根据全等三角形对应角相等可得AF=AG，从而确定点A是FG的中点，设点A的横坐标为a，表示出点B的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A、B的纵坐标，然后求出BE=GB，从而得到点B是EG的中点；
（2）根据S_△OAB=S_矩形OEGF-S_△AOF-S_△OBE-S_△ABG，然后列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵AF⊥y轴，BE⊥x轴，FA的延长线与EB的延长线交于点G，
∴∠AFD=∠G=90°，
在△ADF和△ABG中，

∠AFD=∠G=90° ∠DAF=∠BAG AD=AB

，
∴△ADF≌△ABG（AAS），
∴AF=AG，
∴A为FG的中点，
设点A的横坐标为a，
则点A的纵坐标为

k

a

，点B的横坐标为2a，
∴点G的纵坐标为

k

a

，点B的纵坐标为

k

2a

，
∴GE=2BE，
即点B为EG的中点，
故A，B分别为FG、EG的中点；

（2）解：由图可知，S_△OAB=S_矩形OEGF-S_△AOF-S_△OBE-S_△ABG，
=2a•

k

a

-

1

2

•a•

k

a

-

1

2

•a•

k

a

-

1

2

a•（

k

a

-

k

2a

），
=2k-

k

2

-

k

2

-

k

4

，
=

3

4

k，
∵S_△OAB=3，
∴

3

4

k=3，
解得k=4，
所以，双曲线的解析式为y=

4

x

．

点评：本题是反比例函数综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，线段中点的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（2）用矩形的面积和直角三角形的面积表示出△OAB的面积并整理成关于k的代数式．