Question

【题目】如图,△ABC是等腰直角三角形, AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）请说明：DE=DF；

（2）请说明：BE2+CF2=EF2；

（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面积（直接写结果）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）25.

【解析】

（1）连接AD，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，AD=BD，求出∠BDE=∠ADF，根据ASA证△BDE≌△ADF即可；

（2）根据AAS证△ADE≌△CDF，推出AE=CF，根据勾股定理求出即可；

（3）求出EF长，根据勾股定理求出DE和DF，根据三角形的面积公式求出即可．

（1）证明：连接AD，

∵等腰直角三角形ABC，

∴∠C=∠B=45°，

∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中

，

∴△BDE≌△ADF，

∴DE=DF．

（2）证明：∵△BDE≌△ADF，

∴BE=AF，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，

∴∠EDA=∠FDC，

在△ADE和△CDF中

，

∴△ADE≌△CDF，

∴CF=AE，

∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2，

即BE2+CF2=EF2．

（3）解：EF2=BE2+CF2=100，

∴EF=10，

根据勾股定理DE=DF=5，

△DEF的面积是DE×DF=×5×5=25．

答：△DEF的面积是25．