Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，FD是线段BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，且AF=CE．
（1）求证：①△EAF≌△AEC；②四边形ACEF是平行四边形；
（2）连结CF，当∠B满足什么条件时，CF垂直平分AE？并说明理由．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）①利用线段垂直平分线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出∠F=∠3=∠4=∠5，再利用AAS得出全等三角形即可；
②利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定得出即可；
（2）当∠B=30°时，CF垂直平分AE，利用等边三角形的判定与性质求出即可．

解答：（1）①证明：∵FD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠FDB=∠ACB，
∴EF∥AC，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
∴CE=AE，
又∵AF=CE，
∴AF=AE，
∴∠F=∠3=∠4=∠5，
在△EAF和△AEC中

∠F=∠5 ∠3=∠4 AE=AE

，
∴△EAF≌△AEC（AAS）；

②证明：∵△EAF≌△AEC，
∴EF=AC，
∵EF∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：当∠B=30°时，CF垂直平分AE，
理由：在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
∵CE=AE，
∴△EAC是等边三角形，即AC=AE=EC，
又∵由（1）知，四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形，
∴CF垂直平分AE．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定，涉及的知识点有：线段垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、平行线的判定等．