Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）证明：四边形DECF为正方形；
（2）若AC=6cm，BC=8cm，求四边形DECF的面积．

Answer 1

考点：正方形的判定与性质

专题：

分析：（1）先求出四边形是矩形，再推出DF=CF，根据正方形的判定推出即可；
（2）证△ADF∽△ABC，得出比例式，代入求出正方形的边长，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF∥EC，
∴∠FDC=∠ECD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠ECD，
∴∠FDC=∠FCD，
∴DF=CF，
∴四边形DECF是正方形；

（2）解：∵四边形DECF是正方形，
∴DF=FC=CE=DE，
设DF=FC=CE=DE=x，
∵DF∥BC，
∴△AFD∽△ACB，
∴

DF

BC

=

AF

AC

，
∴

x

8

=

6-x

6

，
解得：x=

24

7

，
即DF=FC=CE=DE=

24

7

，
∴四边形DECF的面积是

24

7

×

24

7

=

576

49

．

点评：本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，角平分线定义，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．