Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．
（1）如图1，将△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
①试求△ACD的周长；
②若∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数．
（2）如图2，将直角边AC沿直线AM折叠，使点C恰好落在斜边AB上的点N，BN=4cm，求CM的长．

Answer 1

分析：（1）利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；
（2）利用折叠找着AD=BD，设CM=x，表示出BM，在直角三角形ACM中，利用勾股定理可得答案．

解答：解：（1）依题意，得：DE垂直平分AB…（1分）
∴BD=AD…（2分）
①∴△ACD的周长=AC+CD+BD=AC+CD+BD=AC+BC…（3分）
∵AC=6cm，BC=8cm
∴△ACD的周长=6+8=14cm…（4分）
②设∠CAD=4x°，则∠BAD=7x°
∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=11x°…（5分）
∵BD=AD
∴∠B=∠BAD=7x°…（6分）
∵∠C=90°
∴∠B+∠BAC=90°…（7分）
∴7x+11x=90，解得：x=5…（8分）
∴∠B=7x°=35°…（9分）

（2）依题意得：AM平分∠CAB，∠C=∠MNA=90°，AC=AN=6cm…（10分）
∴CM=MN，AB=BN+AN=4+6=10cm…（11分）
设CM=MN=xcm，则BM=BC-CM=（8-x）cm
∵S△ABM=

1

2

BM•AC=

1

2

AB•MN
∴

1

2

•(8-x)•6=

1

2

•10•x…（12分）
解得：x=3
∴CM=3cm．…（13分）

点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的量，然后结合有关的知识列出方程进行解答．