Question

【题目】如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，

（1）猜想BE与DG的关系，并证明你的结论；

（2）用含a、b的式子表示DE2+BG2．

Answer 1

【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由见解析；（2）BG2+DE2＝2a2+2b2

【解析】

（1）由“SAS”可证△DCG≌△BEC，可得BE=DG，BE⊥DG；
（2）由勾股定理可得BD2=DM2+BM2，EG2=ME2+MG2，则BD2+EG2=DM2+BM2+ME2+MG2，可得BD2+EG2=BG2+DE2，即可求解．

解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，

理由如下：如图：连接BD，EG，BE，DG的交点为M，

∵四边形ABCD，四边形CEFG 为正方形，

∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG，

∴∠BCE＝∠DCG，且BC＝DC，CG＝CE，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴DG＝BE，∠CBE＝∠CDG，

∵∠DBE+∠EBC+∠BDC+∠BCD＝180°，

∴∠DBE+∠EBC+∠BDC＝90°，

∵∠DBE+∠CDE+∠BDC+∠BMD＝180°，

∴∠DCB＝∠DMB＝90°，

∴BE⊥DG，

（2）∵BE⊥DG

∴BD2＝DM2+BM2，EG2＝ME2+MG2，

∴BD2+EG2＝DM2+BM2+ME2+MG2，

∴BD2+EG2＝BG2+DE2，

∴AB2+AD2+EC2+CG2＝BG2+DE2．

∴BG2+DE2＝2a2+2b2．