Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF．

（1）当∠BAC＝30时，求△ABC的面积；

（2）当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，点E的坐标为(，0) ；（，0）；（，0）

【解析】

（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；

（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；

（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标．

(1)∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，

∴BC=AB=5，

∴AC=，

∴S△ABC=ACBC=；

(2)连接AD，

∵∠ACB=90°，CD=BC，

∴AD=AB=10，

∵DE⊥AB，

∴AE==6，

∴BE=ABAE=4，

∴DE=2BE，

∵∠AFE+∠FAE=90°， ∠DBE+∠FAE=90°，

∴∠AFE=∠DBE，

∵∠AEF=∠DEB=90°，

∴△AEF∽△DEB，

∴=2，

∴EF=AE=×6=3；

(3)连接EC，设E(x，0)，

当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；

①0°<的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D，

又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，

∴，

∵EC是Rt△BDE斜边的中线，

∴CE=CB，

∴∠CEB=∠CBE，

∴∠EOF=∠CEB，

∴OF∥CE，

∴△AOF∽△AEC

∴，

∴，即，

解得x=，因为x>0，

∴x=；

②60°<的度数<90°时，点E在O点的左侧，

若∠EOF=∠B，则OF∥BD，

∴OF=BC=BD，

∴即解得x=，

若∠EOF=∠BAC，则x=，

综上点E的坐标为(，0) ；（，0）；（，0）.