Question

2．直线y=-x+8交x轴于A，交y轴于B，经过O、A两点的抛物线y=ax²+bx交直线AB于另外一点C，且点C的横坐标为2．

（1）求抛物线的解析式；
（2）M为直线AC上方抛物线上一点，MD∥OC交AC于D，设MD=d，求d与点M的横坐标t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当d最大值，抛物线上是否存在点R使得∠MCO+∠MCR=180°，若存在，求点R的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，先求直线y=-x+8与x轴交点A和与y轴交点B的坐标，根据C的横坐标求出纵坐标；再利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）如图2，作辅助线，构建相似三角形，证明△OBC∽△MFD，得$\frac{OB}{FM}=\frac{OC}{MD}$，代入化简可得d与点M的横坐标t之间的函数关系式；
（3）如图3，先根据∠MCO+∠MCR=180°，找出满足条件的R点，根据两直线平行，同旁内角互补及线段的中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作线段CM的中垂线GH，交DM于H，再作直线CH与抛物线的交点就是所求的点R，再利用待定系数法依次求各直线的解析式，点R是抛物线与直线CH的交点，因此利用两函数解析式列方程组即可求出点R的坐标．

解答 解：（1）如图1，当x=0时，y=8，当y=0时，x=8，
∴A（8，0），B（0，8），
当x=2时，y=-2+8=6，
∴C（2，6），
把A（8，0），C（2，6）代入y=ax²+bx中得：$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b=0}\\{4a+2b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+4x；
（2）如图2，过M作ME⊥x轴于E，交直线AB于F，
∵OA=OB=8，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
在Rt△FEA中，∠AFE=45°，
∴∠DFM=∠AFE=45°，
∴∠OBA=∠DFM=45°，
∵DM∥OC，
∴∠OCA=∠BDM，
∴∠OCB=∠FDM，
∴△OBC∽△MFD，
∴$\frac{OB}{FM}=\frac{OC}{MD}$，
∵M在抛物线上，
∴M（t，-$\frac{1}{2}$t²+4t），
当x=t时，y=-t+8，
∴EM=-$\frac{1}{2}$t²+4t，EF=-t+8，
∴FM=EM-EF=-$\frac{1}{2}$t²+4t+t-8=-$\frac{1}{2}$t²+5t-8，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴$\frac{8}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+5t-8}$=$\frac{2\sqrt{10}}{d}$，
∴d=-$\frac{\sqrt{10}}{8}{t}^{2}$+$\frac{5\sqrt{10}}{4}$t-2$\sqrt{10}$；
（3）存在，如图3，
作线段CM的中垂线GH，交CM于G，交DM于H，作直线CH交抛物线于点R，则CH=HM，
∴∠MCR=∠HMC，
由（2）知：DM∥OC，
∴∠MCO+∠HMC=180°，
∴∠MCO+∠MCR=180°，
d=-$\frac{\sqrt{10}}{8}$（t-5）²+$\frac{9}{8}\sqrt{10}$，
∴当t=5时，d有最大值，
当x=5时，y=-$\frac{1}{2}×25$+4×5=$\frac{15}{2}$，
∴M（5，$\frac{15}{2}$），
设OC的解析式为：y=kx，
把C（2，6）代入得：2k=6，k=3，
∴OC的解析式为：y=3x，
∵OC∥DM，
∴设直线DM的解析式为：y=3x+b，
把M（5，$\frac{15}{2}$）代入得：$\frac{15}{2}$=15+b，b=-$\frac{15}{2}$，
∴直线DM的解析式为：y=3x-$\frac{15}{2}$，
同理得：直线CM的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+5，
∴设直线GH的解析式为：y=-2x+b，
∵C（2，6），M（2，$\frac{15}{2}$），
∴G（$\frac{7}{2}$，$\frac{27}{4}$），
把G（$\frac{7}{2}$，$\frac{27}{4}$）代入到y=-2x+b中得：b=$\frac{55}{4}$，
∴直线GH的解析式为：y=-2x+$\frac{55}{4}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+\frac{55}{4}}\\{y=3x-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{17}{4}}\\{y=\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{17}{4}$，$\frac{21}{4}$），
∴直线CH的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+\frac{20}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$     $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{20}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{40}{9}}\end{array}\right.$，
∴R（$\frac{20}{3}$，$\frac{40}{9}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，本题还运用了利用两函数的解析式列方程组求交点的坐标；在直线设解析式时，要知道：①两直线平行，则一次项系数k相等；②两直线垂直，则一次项系数k是互为负倒数；把函数、方程和几何图形相结合，同时也巧妙地运用三角形相似求函数的解析式．