Question

【题目】如图，二次函数的图象经过点，点，点，点是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数的最小值为；②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根为1和.其中正确结论的个数是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y=a×5×1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称轴和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=﹣2a，c=﹣3a，则方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），

∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a= a（x﹣1）2﹣4a，

∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，故①正确；

当x=4时，y=a×5×1=5a，

∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），

∴对称轴为直线x=1，

∵抛物线开口向上，

∴x>1时，y随x的增大而增大，

∵C（4，y1）,

∴，则，故③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），

∴-1+3=-，-1×3=，

∴b=﹣2a，c=﹣3a，

∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，

整理得3x2+2x﹣1=0，

解得x1=﹣1，x2=，故④错误，

综上所述：正确的结论有①②③，共3个，

故选C.