【题目】在平面直角坐标系
中，对于两个点
，
和图形
，如果在图形上存在点
，
(，可以重合)，使得
，那么称点与点是图形的一对“倍点”．
已知
的半径为1，点
．
(1)①点到的最大值，最小值；
②在
，
，
这三个点中，与点是的一对“倍点”的是_____；
(2)在直线
上存在点与点是的一对“倍点”，求
的取值范围；
(3)正方形
的顶点
，
，若正方形上的所有点与点都是的一对“倍点”，直接写出
的取值范围．
【答案】(1)①最大值是4；最小值是2；②A1；(2)
；(3)
或
.
【解析】
(1)①点
到
的最大值是
；点到的最小值是
；
②
到圆
的最大值6，最小值4；
到圆的最大值11，最小值9；
到圆的最大值3，最小值1；点到的最大值是4，最小值是2；在圆上存在点
，
，使得
，则与是的一对“倍点”；
（2）首先求出
，
，根据
，可得
，即可得到
的取值范围；
(3)当
时，
，
，
，可得
；
，
，
，可得
；当
时，，，则
，，，则
，则
.
解：(1)①点到的最大值是；
点到的最小值是；
②到圆的最大值6，最小值4；到圆的最大值11，最小值9；到圆的最大值3，最小值1；
点到的最大值是4，最小值是2；
在圆上存在点，，使得，则与是的一对“倍点”，
故答案为：A1；
(2)∵点到的最大值是4，最小值是2
∴，
∵到直线
的最大距离是9，即，
∵，
∴，
∴
，
∴；
(3)当时，，，则，
∴，
，，则
，
∴，
∴；
∴；
当时，，，则，
，，则，
∴
，
∴，
∴；
综上所述：或.
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【题目】抛物线
经过点E（5，5），其顶点为C点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出C点坐标．
（2）将直线
沿y轴向上平移b个单位长度交抛物线于A、B两点．若∠ACB=90°，求b的值．
（3）是否存在点D（1，a），使抛物线上任意一点P到x轴的距离等于P点到点D的距离？若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，点A（
，0）、B（0，
），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为_____．
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【题目】如图，矩形ABCD的顶点 A的坐标为（4，2），顶点B，C分别在
轴，
轴的正半轴上．
（1）求证：∠OCB＝∠ABE；
（2）求OC长的取值范围；
（3）若D的坐标为（
，
），请说明随的变化情况．
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【题目】北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2019年1月份各区域的
浓度情况如表：
各区域1月份浓度(单位：微粒/立方米)表
区域 |
| 区域 |
| 区域 |
|
怀柔 | 33 | 海淀 | 50 | 平谷 | 45 |
密云 | 34 | 延庆 | 51 | 丰台 | 61 |
门头沟 | 41 | 西城 | 61 | 大兴 | 72 |
顺义 | 41 | 东城 | 60 | 开发区 | 65 |
昌平 | 38 | 石景山 | 55 | 房山 | 62 |
朝阳 | 54 | 通州 | 57 |
从上述表格随机选择一个区域，其2019年1月份的浓度小于51微克/立方米的概率是______．
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【题目】为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
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【题目】对于平面直角坐标系
中的点
，
，给出如下定义：若，为某个三角形的顶点，且边
上的高
，满足
，则称该三角形为点，的“生成三角形”．
(1)已知点
；
①若以线段
为底的某等腰三角形恰好是点
，
的“生成三角形”，求该三角形的腰长；
②若
是点，
的“生成三角形”，且点在
轴上，点
在直线
上，则点的坐标为______；
(2)
的圆心为点
，半径为2，点
的坐标为
，
为直线
上一点，若存在
，是点，的“生成三角形”，且边
与有公共点，直接写出点的横坐标
的取值范围．
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【题目】如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t＝3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有（ ）
A.①④B.①③C.①②③D.②③④
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【题目】明朝的数学家程大位在《算法统宗》中有一道古诗趣题：甲赶群羊逐草茂，乙拽只羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所曰无差谬；若得这般一群羊，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机妙算谁猜透？其大意是：甲赶一群羊去放，乙也牵着一只羊跟在甲的后面.乙问甲：“你的这群羊有没有一百只呢？”甲说：“我再得这样的一群羊，再得这群羊的一半，还得这群羊的四分之一，最后凑上你的这只羊，正好是一百只.”问甲原有多少只羊？设甲原有x只羊，根据题意，可列方程为_________________________
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