如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.
(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;
(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.
证明(1)连接PD、PE、QD、QE.
因为 CE⊥AB,P是BF的中点,
所以 △BEF是直角三角形,且
PE是Rt△BEF斜边的中线,
所以 PE=BF.
又因为 AD⊥BC,
所以 △BDF是直角三角形,且PD是Rt△BDF斜边的中线,
所以 PD=BF=PE,
所以 点P在线段DE的垂直平分线上.
同理可证,QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线,
所以 QD=AC=QE,
所以 点Q也在线段DE的垂直平分线上.
所以 直线PQ垂直平分线段DE.
(2)当△ABC为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立.
如右图,△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°.
原题改写为:如右图,在钝角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,DA 与CE的延长线交于点F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.
求证:直线PQ垂直且平分线段DE.
证明 连接PD,PE,QD,QE,则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线,
所以 PD=BF, PE=BF,
所以 PD=PE,
点P在线段DE的垂直平分线上.
同理可证 QD=QE,
所以 点Q在线段DE的垂直平分线上.
所以 直线PQ垂直平分线段DE.
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A、
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B、
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C、
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D、
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