Question

【题目】某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据题意得：w=（25+x﹣20）（250﹣10x）

即：w=﹣10x2+200x+1250或w=﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25）

（2）

解：∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，

当 时，销售利润最大

此时销售单价为：10+25=35（元）

答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．

（3）

解：由（2）可知，抛物线对称轴是直线x=10，开口向下，对称轴左侧w随x

的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小

方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5

当x=5时，利润最大

最大利润为w=﹣10×52+200×5+1250=2000（元），

方案B：根据题意得，25+x﹣20≥16，

解得：x≥11

则11≤x≤25，

故当x=11时，利润最大，

最大利润为w=﹣10×112+200×11+1250=2240（元），

∵2240＞2000，

∴综上所述，方案B最大利润更高．

【解析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；（2）利用二次函数的性质得出销售单价；（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．