Question

（2006•襄阳）已知：AB是⊙O的直径，点C是⊙O外的一点，点E是AC上一点，AB=2．
（1）如图1，点D是BC的中点，当DE也AC满足什么关系时，DE是⊙O的切线？请说明理由．
（2）如图2，AC是⊙O的切线，点E是AC的中点DE∥AB．①求的值；②求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）若DE是圆的切线，则连接OD，OD应垂直于DE，再根据三角形的中位线定理得到OD∥AC，所以DE⊥AC，反之成立；
（2）①中，连接OD，根据平行线等分线段定理，得到D是BC的中点，根据平行线的性质和切线的性质得到DE⊥AC，结合（1）的结论，则DE也是圆的切线，从而得到OD⊥DE，根据一组邻边相等的矩形是正方形得到正方形AEDO，从而发现等腰直角三角形AOD和ADB，根据AB=2，即可求得AD的长，进一步计算；
②中，阴影部分的面积显然是正方形AEDO的面积减去扇形OAD的面积，根据①中的结论即可计算．
解答：解：（1）如图所示，
当DE⊥AC时，DE是⊙O的切线（1分）
证明：连接OD
∵AB是⊙O的直径
∴AO=OB
∵点D是BC的中点
∴BD=DC，
∴OD是△ACB的中位线，
∴OD∥AC   （2分）
∴DE⊥OD
即DE是⊙O的切线（3分）

（2）①∵AC为⊙O的切线
∴AC⊥AB
∵DE∥AB
∴DE⊥AC
∵点E是AC中点
∴点D是BC中点（4分）
∴OD⊥DE  （5分）
∵AO=OD
∴四边形AODE是正方形（6分）
∵AB=2
∴AD=
∴===2-2   （8分）
②由图形可知，S_阴影=S_{正方形AODC}-S_扇形OAD∵S_正方形=1×1=1平方单位（9分）
∵S_扇形==平方单位（10分）
∴S_阴影=1-平方单位（11分）．
点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、切线的判定和性质、正方形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质．