Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，f（x）=x的两实根为α、β．
（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；
（2）若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求f（x）解析式；
（3）试比较（x₁+1）（x₂+1）与7的大小．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．
（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α-β|=1，可求出a，b，从而求出f（x）解析式．
（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，用a和b表示出（x₁+1）（x₂+1），讨论a，b的关系可比较（x₁+1）（x₂+1）与7的大小的结论．

解答：解：（1）∵f（x）=x，
∴ax²+4x+b=x，
α=

-3+ 9-4ab

2a

，β=

-3- 9-4ab

2a

．
∵|α-β|=1，
∴

9-4ab

=|a|，
∴a²+4ab-9=0；
（2）∵a、b均为负整数，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2．
（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，
∴ax²+4x+b=0
∴x₁x₂=

b

a

，x₁+x₂=-

4

a

．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=

b

a

-

4

a

+1．

b

a

-

4

a

+1-7=

b-4-6a

a

，
∵a＜0，
当b＞6a+4时，（x₁+1）（x₂+1）＜7．
当b=6a+4时，（x₁+1）（x₂+1）=7．
当b＜6a+4时，（x₁+1）（x₂+1）＞7．

点评：本题考查二次函数的综合运用，考查了确定函数式，方程与函数的关系，以及求一元二次方程的求根公式的应用．