Question

9．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．
求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．

解答 证明：作EF⊥AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△ABE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠1=∠2}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDE，
∴AE=CE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，
∴AB∥CD∥x轴，
∴m-2=4，m=6，
将B（6，n）代入直线y=$\frac{1}{2}$x+1得n=4，
∴B（6，4），
∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，
∴EF=1，
∵D（p，q），
∴E（$\frac{p+6}{2}$，$\frac{q+4}{2}$），F（$\frac{p+6}{2}$，4），
∴$\frac{q+4}{2}$+1=4，
∴q=2，p=2，
∴DA⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．