Question

如图，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一点，过P作EF∥AB，分别交AD，BC于点E、F，CP的延长线交AD于点G，O是PC的中点，FO的延长线交DC于点K．
（1）求证：PF=CK；
（2）设DG=x，△CKO的面积为S₁，四边形POKD的面积为S₂，y=

S1

S2

．求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并在下面的直角坐标系中画出这个函数的图象．

Answer 1

分析：（1）可通过证明△PCF≌△KFC得证PF=CK；
（2）根据图中O点的位置，不难得出O到KC的距离应是CF的一半，因此要求三角形OKC的面积和四边形POKD的面积比，实际是求三角形OKC和PDC的面积比，根据面积比求出了关于x，y的函数关系式，然后可根据函数关系式画出函数的图象．

解答：（1）证明：直角三角形PFC中，
∵O是斜边PC的中点，
∴OP=OF=OC，
∴∠PCF=∠KFC，
∵∠PFC=∠KCF=90°，FC=FC，
∴△PCF≌△KFC，
∴PF=CK；

（2）解：过O作OH⊥CD于H，
∵PF=CD，PF∥CK，
∴四边形PFCK应该是矩形，
∴O也平分KF，
∴OH是三角形KFC的中位线，
∴OH=

1

2

FC，
∵GD∥BC，
∴△GPD∽△CPB，
∴

GD

BC

=

PE

PF

，
∵GD=x，BC=CD=1，PE+PF=1，
∴

x

1

=

1-PF

PF

，
∴PF=CK=

1

x+1

，
∴S_△CKO=

1

2

•CK•OH=

1

2x+2

•OH，
∵S_△CPD=

1

2

•CD•CF=

1

2

•CF=OH，
∴S_POKD=S_△CPD-S_△CKO=

2x+1

2x+2

•OH，
∴y=S_△OKC：S_POKD=

1

2x+1

（0＜x≤1）．

点评：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．