Question

20．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，-6），且与反比例函数y=-$\frac{12}{x}$的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y₁=k₁x+b₁（k₁≠0），l与反比例函数y₂=$\frac{6}{x}$的图象相交，求使y₁＜y₂成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据“上加下减”找出直线l的解析式，联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y₁＜y₂成立的x的取值范围．

解答 解：（1）∵反比例函数y=-$\frac{12}{x}$的图象过点B（a，4），
∴4=-$\frac{12}{a}$，解得：a=-3，
∴点B的坐标为（-3，4）．
将A（2，-6）、B（-3，4）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-6}\\{-3k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-2x-2．

（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y₁=-2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，
∴使y₁＜y₂成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标．