Question

如图所示，已知抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A，B两点，C为抛物线的顶点，过点A作AP∥BC交抛物线于点P．
（1）求A，B，C三点坐标；
（2）求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，过点M作ME⊥x轴于点E，使A，M，E三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）让y=0可得抛物线与x轴的2个交点坐标；整理二次函数解析式为顶点式可得抛物线的顶点C的坐标；
（2）易得AP的解析式，与抛物线解析式组成方程组，可得P的坐标，S_{四边形ACBP}=S_△ABP+S_△ACB，把相关数值代入计算即可；
（3）易得A，M，E三点为顶点的三角形和△PAC均为Rt△，用二次函数解析式设出所求点的坐标，根据三角形中不同的两直角边的对应边成比例可得M可能的坐标．

解答：解：（1）①y=x²-4x+3令y=0，则x²-4x+3=0，
即x₁=1，x₂=3，
故点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点C的坐标为（2，-l）；

（2）∵过B，C两点的直线为y=x-3，AP∥BC，
∴设直线AP为y=x+b，
又∵点A的坐标为（1，0），
∴直线AP为y=x-1，②
由①②可知点P的坐标为（4，3），
所以，S_{四边形ACBP}=S_△ABP+S_△ACB=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；

（3）存在，点M的坐标为M₁（0，3），M₂（

10

3

，

7

9

），M₃（6，15）．
由（1）（2）易知AP=3

2

，AC=

2

，PC=2

5

，
∴AP²+AC²=PC²，
∴△PAC为Rt△，且∠PAC=90°，
∵ME⊥x 轴，
∴以A，M，E三点为顶点的三角形也是Rt△，且∠MEA=90°，
假设点M是在x轴上方的抛物线上，设M为（a，a²-4a+3 ）且（a＜1或a＞3），
要使Rt△PAC和Rt△MEA相似，则有
①Rt△PAC∽Rt△AEM，得

PA

AE

=

AC

EM

，
②Rt△PAC∽Rt△MEA，得

PA

EM

=

AC

AE

，
而AE=|1-a|，ME=a²-4a+3，由①得|1-a|=3（a²-4a+3），
解之a1=

8

3

（舍去），a₂=1 （舍去），a3=

10

3

，a₄=1（舍去），
再由②得3|1-a|=3（a²-4a+3），
解之，a₅=0，a₆=1 （舍去），a₇=6，a₈=1（舍去），
综上所述：存在点M的坐标，即为M₁（0，3），M₂（

10

3

，

7

9

），M₃（6，15）．

点评：综合考查相似三角形的应用，二次函数的知识；分情况探讨直角三角形相似的两种情况是解决本题的易错点；把所求三角形的面积分成合适的两个三角形的面积的和是常用的解题思路．