Question

把两个三角形按如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6，DC=7．把△DCE绕C点顺时针旋转15°，得到△D₁CE₁，如图2，这时AB与CD₁相交于点O，与D₁E₁相交于点F．
（1）求∠ACD₁的度数；
（2）求AD₁的长；
（3）如果把△D₁CE₁绕C点再顺时针旋转30°，这时点B在△D₁CE₁的内部、外部、还是在边D₁E₁上？利用图3，画出图形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出∠ACD=30°，进而求出∠ACD₁=30°+15°=45°；
（2）根据OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度数，进而得出∠4=90°，在Rt△AD₁O中根据勾股定理就可以求得AD₁的长；
（3）设BC（或延长线）交D₁E₁于点P，Rt△PCE₁是等腰直角三角形，就可以求出CB的长，判断B在△D₁CE₁内．

解答：解：（1）如图2所示，∵∠D=30°，∠ACB=∠DEC=90°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=30°，
∵把△DCE绕C点顺时针旋转15°，
∴∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠ACD₁=30°+15°=45°；

（2）如图2所示，连接AD₁，
∵∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=

1

2

AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

×6=3（cm），
又∵CD₁=7（cm），
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4（cm），
在Rt△AD₁O中，AD1=

OA2+O D 2 1

=

32+42

=5（cm）；

（3）点B在△D₁CE₁内部，
理由如下：如图3，设BC（或延长线）交D₁E₁于点P
则∠PCE₁=15°+30°=45°，
∵∠D=30°，DC=7cm，
∴CE₁=

7

2

cm，
∵AB=6，∠A=45°，
∴BC=6×

2

2

=3

2

（cm），
在Rt△PCE₁中，CP=

2

CE₁=

7 2

2

（cm），
∵CB=3

2

＜

7 2

2

，即CB＜CP，
∴点B在△D₁CE₁内部．

点评：本题主要考查了图形旋转的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，正确认识旋转角，理解旋转的概念是解题的关键．