分析 (1)利用等边三角形的性质和已知条件证明△ACD≌△BCE即可;
(2)连接CF,由AD=BE,AF=BP,得到PE=FD,根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC,CE=CD,推出△FDC≌△PEC,根据全等三角形的性质得到∠CPE=∠CFD,∠DBE=∠CAD,得到∠PCF=60°,证得△PCF是等边三角形,求出∠FPC=60°,根据三角形的内角和得到∠FPM=30°,即可得到结论;
(3)如图③,由C与C′关于AD对称,得到CC′⊥AD,由△C′QC是等边三角形,求得∠QCC′=60°,于是得到结论.
解答 证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
即∠ACD=∠BCE,
在△ACD于△BCE中,$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE;
(2)解:如图②连接CF,
∵AD=BE,AF=BP,
∴AD-AF=BE-BP,
∴PE=FD,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC,CE=CD,
在△FDC与△PEC中,$\left\{\begin{array}{l}{PE=DF}\\{∠FDC=∠PEC}\\{CD=CE}\end{array}\right.$,
∴△FDC≌△PEC,
∴∠CPE=∠CFD,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠DBE=∠CAD,
∴∠BMA=∠EBD+∠ADB=60°,
∴∠PCF=60°,
∴△PCF是等边三角形,
∴∠FPC=60°,
∵PF⊥AD,∠FMP=60°,
∴∠FPM=30°,
∴∠CPM=30°,
∴∠BPC=180°-30°=150°;
(3)解:如图③,∵C与C′关于AD对称,
∴CC′⊥AD,
∵△C′QC是等边三角形,
∴∠QCC′=60°,
∴∠CQD=30°,
在△BPC与△ACQ中,$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBP=∠CAQ}\\{BP=AQ}\end{array}\right.$,
∴△BPC≌△ACQ,
∴∠BCP=∠ACQ,
∴∠PCQ=∠BCA=60°,
∴∠PCE=60°+∠QCE=∠DCQ,
∵∠QDC=∠PEC,
∴∠CQD=∠CPE=30°
∴∠BPC=150°.
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,对称的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 线段EF的长度不变 | B. | 随D点的运动而变化,最小值为4$\sqrt{3}$ | ||
C. | 随D点的运动而变化,最小值为2$\sqrt{3}$ | D. | 随D点的运动而变化,没有最值 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5 | B. | 10 | C. | 5$\sqrt{2}$ | D. | 5$\sqrt{3}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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