Question

1．如图，BC为半圆中一条非直径的弦，现将$\widehat{BC}$沿弦BC对对折后交直径AB于点D，若AB=10，CB=4$\sqrt{5}$，则$\frac{AD}{DB}$的值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作线段AB关于BC的对称线段BA′，BA′交圆O于点D′，然后利用勾股定理和割线定理解答即可．

解答 解：如图所示：作线段AB关于BC的对称线段BA′，BA′交圆O于点D′．

∵BA为圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$．
由轴对称的性质可知：AC=A′C，AB=A′B，A′D′=AD．
∴AA′=4$\sqrt{5}$．
由割线长定理可知：A′D′•A′B=A′C•AA′，即10A′D′=2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$．
解得：A′D′=4．
∴AD=4．
∴BD=10-4=6．
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．