Question

如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D．
（1）求证：PB=PD；
（2）若角的顶点P在圆上或圆内，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）过O作OM⊥PB于M，ON⊥PD于N．根据角平分线的性质可知OM=ON，PM=PN，再利用全等三角形的性质证明．
（2）成立，证明的理论依据相同．
解答：（1）证明：过O作OM⊥PB于M，ON⊥PD于N．
∵OP平分∠EPF，
∴OM=ON，又OP=OP，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴PM=PN，
∴AB=CD，则BM=DN，
∴PM+BM=PN+DN，
∴PB=PD．

（2）解：上述结论仍成立．如下图所示．
当点P在圆上时，
根据解平分线的性质可知OM=ON，
∴△OPM≌△OPN，
∴PM=PN，
根据垂径定理得AM=PM，CN=PN，
∴AP=CP，
当点P在圆内时，
根据角平分线的性质可知OM=ON，
∴△OPM≌△OPN，
∴PM=PN，
连接OA，OC则△OAM≌△OCN，
∴AM=CN，
∴AP=CP．
点评：本题综合考查了垂径定理和全等三角形的判定及性质．注意做几何题时一定要图题结合，利用图形来直观形象的解题．