【题目】如图,E是正方形ABCD的边AD上的动点,F是边BC延长线上的一点,且BF=EF,AB=12,设AE=x,BF=y.
(1)当△BEF是等边三角形时,求BF的长;
(2)求y与x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)把△ABE沿着直线BE翻折,点A落在点A′处,试探索:△A′BF能否为等腰三角形?如果能,请求出AE的长;如果不能,请说明理由.
【答案】(1);(2)(0<x<12);(3)能,
【解析】
(1)当△BEF是等边三角形时,求得∠ABE=30°,则可解Rt△ABE,求得BF即BE的长.
(2)作EG⊥BF,垂足为点G,则四边形AEGB是矩形,在Rt△EGF中,由勾股定理知,EF2=(BF-BG)2+EG2.即y2=(y-x)2+122.故可求得y与x的关系.
(3)当把△ABE沿着直线BE翻折,点A落在点A'处,应有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°,若△A'BF成为等腰三角形,必须使A'B=A'F=AB=12,有FA′=EF-A′E=y-x=12,继而结合(2)得到的y与x的关系式建立方程即可求得AE的值.
(1)当△BEF是等边三角形时,∠EBF=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠A=90°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°,
∴BE=2AE,
设AE=x,则BE=2x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
即122+x2=(2x)2,解得x=
∴AE=,BE=,
∴BF=BE=.
(2)作EG⊥BF,垂足为点G,
根据题意,得EG=AB=12,FG=y-x,EF=y,0<AE<12,
在Rt△EGF中,由勾股定理知,EF2=(BF-BG)2+EG2.
∴y2=(y-x)2+122,
∴所求的函数解析式为(0<x<12).
(3)∵AD∥BC
∴∠AEB=∠FBE
∵折叠
∴∠AEB=∠FEB,
∴∠AEB=∠FBE=∠FEB,
∴点A′落在EF上,
∴A'E=AE,∠BA'F=∠BA'E=∠A=90,
∴要使△A'BF成为等腰三角形,必须使A'B=A'F.
而A'B=AB=12,A'F=EF-A'E=BF-A'E,
∴y-x=12.
∴-x=12.
整理得x2+24x-144=0,
解得,
经检验:都原方程的根,
但不符合题意,舍去,
当AE=时,△A'BF为等腰三角形.
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【题目】某商场,为了吸引顾客,在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动,凡购物满200元者,有两种奖励方案供选择:一是直接获得20元的礼金券,二是得到一次摇奖的机会.已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球,除颜色外其它都相同,摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球,根据球的颜色(如表)决定送礼金券的多少.
球 | 两红 | 一红一白 | 两白 |
礼金券(元) | 18 | 24 | 18 |
(1)请你用列表法(或画树状图法)求一次连续摇出一红一白两球的概率.
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元,若只考虑获得最多的礼品券,请你帮助分析选择哪种方案较为实惠.
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【题目】如图,已知直线l与⊙O 相离,OA⊥l于点A,交⊙O 于点P,点B是⊙O上一点,连接BP并延长,交直线l于点C,使得AB=AC.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若PC=2,OA=3,求线段PB的长.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D、E分别是边AB、BC的中点,点F、G是边AC的三等分点,DF、EG的延长线相交于点H,连接HA、HC.
(1)求证:四边形FBGH是菱形;
(2)求证:四边形ABCH是正方形.
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【题目】如图,在中,,,在内并排不重叠放入边长为1的小正方形纸片,第一层小纸片的一条边都在AB上,首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上,依次这样摆放上去,则最多能摆放 个小正方形纸片.
A. 14个 B. 15个 C. 16个 D. 17个
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【题目】如图,已知函数 y=x+1 的图象与 y 轴交于点 A,一次函数 y=kx+b 的图象经过点 B(0,﹣1),与x 轴 以及 y=x+1 的图象分别交于点 C、D,且点 D 的坐标为(1,n),
(1)则n= ,k= ,b= ;
(2)函数 y=kx+b 的函数值大于函数 y=x+1 的函数值,则X的取值范围是 ;
(3)求四边形 AOCD 的面积;
(4)在 x轴上是否存在点 P,使得以点 P,C,D 为顶点的三角形是直角三角形?若存在求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,A、B在一直线上,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,4秒后走到点D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD,继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F,此时他(EF)的影长为2米,然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H,此时他(GH)处于灯光正下方.
(1)请在图中画出光源O点的位置,并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法);
(2)求小明沿AB方向匀速前进的速度.
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