Question

9、如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．

Answer 1

分析：先证△AED≌△AFD得出AE=AF，得出△AEF为等腰三角形，然后根据SAS证得△AEG≌△AFG，继而可证得EG=FG，AG是△AEF的中线根据三线合一定理可知AD垂直平分EF．

解答：证明：由AD是∠BAC的平分线，可得∠EAD=∠FAD，
又∵∠DEA=∠DFA=90°，AD为公共边，
∴可证得△AED≌△AFD．
∴AE=AF，可知△AEF为等腰三角形．
由AE=AF，AG为公共边，∠EAD=∠FAD，
∴△AEG≌△AFG（SAS）．
∴可得EG=FG．
∴AG是△AEF的中线．
又∵等腰三角形的三线合一，
∴AD垂直平分EF．

点评：本题考查等腰三角形的性质，及线段垂直平分的性质，是道难度较大的题目，要仔细思考．