Question

9．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四点，且$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，AC=DB．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠A=60°，BC=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，根据圆周角定理，可求得∠A=∠D，然后由SAS，可判定：△ABC≌△DCB；
（2）连接OB，OC，过O作OE⊥BC于E，由垂径定理得到BE=CE=$\frac{1}{2}$，由圆周角定理得到∠BOC=120°，根据等腰三角形的性质得到∠BOE=60°，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
在△ABC与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠D}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB；
（2）解：连接OB，OC，过O作OE⊥BC于E，
则BE=CE=$\frac{1}{2}$，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠BOE=60°，
∴$\frac{BE}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．