Question

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=3.6cm（如图1）．动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t（s）时，△BPQ的面积为y（cm²）（如图2）．分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN．

（1）分别求出梯形中BA，AD的长度；
（2）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象．
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1：6的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）由于点P在AD运动时，点Q在C点，利用函数图象和三角形面积公式得到

1

2

×BC×3.6=10.8，解得BC=6，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C，所以AB=BC=6，作AH⊥BC于H，如图1，在Rt△ABH中，利用勾股计算出BH=4.8，则CH=BC-BH=1.2，所以BA，AD的长度分别为6cm，1.2cm；
（2）分类讨论：当点P在BA上时，根据三角形面积公式得到y=

1

2

•t•t•sinB，再利用正弦的定义得到y=

1

2

•t²•

3.6

6

=

3

10

t²（0≤t≤6）；当点P在DC上时，根据三角形面积公式得到y=-3t+32.4（7.2≤t≤10.8）；然后画出对应的函数图象；
（3）分类讨论：当0≤t≤6，利用S_△BPQ=

1

7

S_梯形ABCD得到

3

10

t²=

1

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

6 210

35

；利用S_△BPQ=

6

7

S_梯形ABCD得到

3

10

t²=

6

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

36 35

35

（不合题意舍去）；当6＜t≤7.2时，利用S_△CPQ=

1

7

S_梯形ABCD得到

1

2

×（7.2-t）×3.6=

1

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

216

35

；当7.2＜t≤10.8，PQ不可能把梯形ABCD．

解答：解：（1）点P在AD边上从A到D运动时，点Q在C点，
根据函数图象得到S_△PBQ=

1

2

•BC•CD=10.8，
∴

1

2

×BC×3.6=10.8，
∴BC=6，
∵当点P到达点A时，点Q正好到达点C，
∴AB=BC=6，
作AH⊥BC于H，如图1，在Rt△ABH中，AB=6，AH=CD=3.6，BH=

AB2-AH2

=4.8，
∴CH=BC-BH=1.2，
∴AD=1.2，
即BA，AD的长度分别为6cm，1.2cm；

（2）当点P在BA上时，y=

1

2

•t•t•sinB=

1

2

•t²•

AH

AB

=

1

2

•t²•

3.6

6

=

3

10

t²（0≤t≤6）；
当点P在DC上时，y=

1

2

×6×（6+1.2+3.6-t）=-3t+32.4（7.2≤t≤10.8）；
如图3；
（3）存在．
当0≤t≤6，
若S_△BPQ=

1

7

S_梯形ABCD，则

3

10

t²=

1

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

6 210

35

；
若S_△BPQ=

6

7

S_梯形ABCD，则

3

10

t²=

6

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

36 35

35

（不合题意舍去）；
当6＜t≤7.2时，S_△CPQ=

1

7

S_梯形ABCD，则

1

2

×（7.2-t）×3.6=

1

7

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

216

35

；
当7.2＜t≤10.8，PQ不可能把梯形ABCD的面积恰好分成1：6的两部分，
所以t的值为

6 210

35

或

216

35

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质；会画二次函数和一次函数图象以及从函数图象上获取信息；能运用分类讨论的思想解决数学问题和把动点的问题转化为定点问题．