Question

20、已知关于x的方程（a+c）x²+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）先根据题意，列出关于x₁，x₂的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1；
（2）然后把所求两根代入原方程，判断a、b、c的关系，最后确定三角形的形状．

解答：解：（1）设方程的两根为x₁，x₂（x₁＞x₂），
则x₁+x₂=-1①，x₁-x₂=1②，
①+②得2x₁=0，解得x₁=0，
①-②得：2x₂=-2，解得x₂=-1；

（2）当x=0时，（a+c）×0²+2b×0-（c-a）=0．
所以c=a；
当x=-1时，（a+c）×（-1）²+2b×（-1）-（c-a）=0，a+c-2b-c+a=0，
所以a=b．
即a=b=c，△ABC为等边三角形．

点评：本题综合考查了三角形形状的判断与根与系数的关系，解这类题的关键是利用根与系数的关系，用方程根的定义来寻求未知系数的等量关系．