Question

已知抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）点C在抛物线上，若△ABC是直角三角形，直接写出C的坐标：

（2，1）或（3，4）

．

Answer 1

分析：（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，依此得到关于m的方程，求得m的值；
（2）若△ABC是直角三角形，存在三种情况：
①∠ABC=90°，则C点必为直线BC与抛物线的交点，可先求出直线BC的解析式，联立抛物线的解析式即可求出C点的坐标；
②∠BAC=90°，则C点必为直线AC与抛物线的交点，方法同①；
③∠ACB=90°，以AB为直径作圆，那么C点（除了A、B点外）即为圆与抛物线的交点．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）²-4（m-1）=0，
解得m=2．
故m的值为2；

（2）∵抛物线的解析式是y=x²-2x+1，
∴A（0，1），B（1，0），
∴AB的解析式为y=-x+1．
①∠ABC=90°，BC的解析式为y=x-1，则有

y=x-1 y=x2-2x+1

，解得

x1=1 y1=0

（不合题意舍去），

x2=2 y2=1

，所以C的坐标为（2，1）；
②∠BAC=90°，AC的解析式为y=x+1，则有

y=x+1 y=x2-2x+1

，解得

x1=0 y1=1

（不合题意舍去），

x2=3 y2=4

，所以C的坐标为（3，4）；
③∠ACB=90°，以AB为直径作圆，除了A、B点外，圆与抛物线的无交点．
综上可知C的坐标为：（2，1）或（3，4）．
故答案为：（2，1）或（3，4）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定以及函数图象交点坐标的求法等知识．要注意的是（2）题中，由于直角三角形的直角顶点没有确定，因此要分类讨论，以免漏解．