Question

6．如图，已知直线BC⊥x轴于点B，且与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于点A，连接OA，△AOB的面积为1，点A到x轴的距离为$\frac{2}{3}$，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$交于点D（点D的横坐标大于零），并与直线BC交于点C（c，4），与x轴交于点E（-1，0），连接AD．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点D的坐标；
（3）四边形OADE的面积．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥x轴结合△AOB的面积为1，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出m的值，再结合反比例函数图象在第一、三象限即可确定m的值，此题得解；
（2）根据点A的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可找出点A的坐标，进而即可找出点C的坐标，由点C、E的坐标利用待定系数法即可求出直线CE的解析式，再联立直线CE与反比例函数解析式成方程组，解方程组即可得出点D的坐标；
（3）由点A的坐标可得出点B的坐标，结合点C、E的坐标即可得出BE、BC、AC的长度，再利用分割图形求面积法结合三角形的面积即可求出四边形OADE的面积．

解答 解：（1）∵AB⊥x轴，△AOB的面积为1，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|m|=1，
∴m=±2，
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）∵点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，且点A的纵坐标为$\frac{2}{3}$，
∴点A的坐标为（3，$\frac{2}{3}$），点C的坐标为（3，4）．
将点C（3，4）、E（-1，0）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=3a+b}\\{0=-a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线CE的解析式为y=x+1．
联立直线CE和反比例函数解析式成方程组，
得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∵点D的横坐标大于零，
∴点D的坐标为（1，2）．
（3）∵点A的坐标为（3，$\frac{2}{3}$），AB⊥x轴于点B，
∴点B的坐标为（3，0），
∴BE=OB+OE=3+1=4．
∵点C的坐标为（3，4），点A的坐标为（3，$\frac{2}{3}$），
∴BC=4，AC=4-$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴S_{四边形OADE}=S_△BCE-S_△AOB-S_△ACD=$\frac{1}{2}$BE•BC-1-$\frac{1}{2}$AC•（x_B-x_D）=$\frac{1}{2}$×4×4-1-$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×（3-1）=$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，结合图形利用分割图形求面积法求出四边形OADE的面积是解题的关键．