Question

已知，抛物线y=ax²-2ax与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且抛物线与直线y=-2ax-1的交点恰为抛物线的顶点C．
（1）求a的值；
（2）如果直线y=-x+b（）与x轴交于点D，与线段BC交于点E，求△CDE面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，在x轴下方，是否存在点F，使△BDF与△BCD相似？如果存在，请求出点F的坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-2ax=ax（x-2），
又∵抛物线y=ax²-2ax与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），
∴A（2，0），B（0，0），顶点C（1，-a），
∵抛物线与直线y=-2ax-1的交点恰为抛物线的顶点C，
∴-2a-1=-a，
解得：a=-1．

（2）如图1，由（1）得直线BC的解析式为y=x，
∵直线y=-x+b（）与x轴交于点D，与线段BC交于点E，
∴D（b，0），E（，），
∴S_△CDE=S_△CBD-S_△BDE=×b×1-×b×=-（b-1）²+，
∵当b＞1时，s随着b的增大而减小，
∵≤b≤，
∴当b=时，△CDE面积最大，
最大值为：-（-1）²+=．

（3）如图2，△BCD中，BC=BD=，∠CBD=45°，
在x轴下方存在点F，使△BDF与△BCD全等，即△BDF与△BCD相似，
∴F₂（1，-1），
过点F₁作F1M⊥OD于M，
∵DF₁=OD=OC=，∠ODF₁=∠CBD=45°，
∴F₁M=DM=1，
∴F₁（-1，-1），
过F₃N⊥BD于N，过点C作CG⊥BD于G，
∴△CGD∽△F₃ON，
∴CG：F₃N=GD：BG，
∵GD=-1，CG=1，BG=，
∴，
∴F₃G=1+，
∴F₃（，-1-）．
∴存在点F₁（-1，-1），F₂（1，-1），F₃（，-1-），使△BDF与△BCD相似．
分析：（1）由抛物线y=ax²-2ax与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），即可得A（2，0），B（0，0），顶点C（1，-a），又由抛物线与直线y=-2ax-1的交点恰为抛物线的顶点C，即可得方程-2a-1=-a，则可求得a的值；
（2）由（1）得直线BC的解析式为y=x，又由直线y=-x+b（）与x轴交于点D，与线段BC交于点E，可得D（b，0），E（，），则可得S_△CDE=S_△CBD-S_△BDE=-（b-1）²+，则可求得△CDE面积的最大值；
（3）分别从在x轴下方存在点F，使△BDF与△BCD全等，即△BDF与△BCD相似，与△BCD∽△FBD去分析，即可求得答案．
点评：此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．