Question

4．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在边AB延长线上，点G在边AD上，FG分别交ED，BC于点M，N．
（1）如图1，AE=BF，连接CF．
①求证：△DGM∽△CNF；
②若BE=2AE=2GD，求$\frac{GM}{NF}$的值．
（2）如图2，若$\frac{EF}{CD}=\frac{GD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求∠EMF的度数．

Answer 1

分析 （1）①易证△EAD≌△FBC，则有∠AED=∠BFC，从而有DE∥FC，即可得到∠GMD=∠NFC．由AD∥BC可得∠MGD=∠FNC，即可得到△DGM∽△CNF；②由△DGM∽△CNF可得$\frac{GM}{NF}$=$\frac{DM}{CF}$，要求$\frac{GM}{NF}$，只需求$\frac{DM}{CF}$，由△EAD≌△FBC可得DE=CF，只需求$\frac{DM}{DE}$，只需求$\frac{DM}{EM}$，延长FG、CD，交于点Q，如图1．易证DMQ∽△EMF，从而有$\frac{DM}{EM}$=$\frac{DQ}{EF}$，只需求$\frac{DQ}{EF}$．设AE=x，则BF=x，由BE=2AE=2GD可得BE=2x，GD=x，从而得到AD=AB=3x，EF=3x，AF=4x，AG=2x．由AB∥QC可得△AGF∽△DGQ，从而得到$\frac{AF}{DQ}$=$\frac{AG}{DG}$，即可求得DQ=2x，问题得以解决；
（2）过点F作FK∥DE，交DC于K，连接GK，交DE于H，如图2．易证四边形EFKD是平行四边形，从而可得EF=DK，DE=FK．由$\frac{EF}{CD}=\frac{GD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$可得$\frac{DK}{AD}$=$\frac{GD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而可证到△GDK∽△EAD，即可得到$\frac{GK}{ED}$=$\frac{GD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠GKD=∠EDA，从而有$\frac{GK}{FK}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠HDK+∠HKD=∠HDK+∠EDA=90°，即可得到∠DHK=90°．由DE∥FK可得∠EMF=∠GFK，∠GKF=∠DHK=90°，然后在Rt△GKF中利用三角函数即可解决问题．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC，AB=AD=BC=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠FBC=90°=∠A．
在△EAD和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠FBC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△FBC，
∴∠AED=∠BFC，
∴DE∥FC，
∴∠GMD=∠NFC．
∵AD∥BC，
∴∠MGD=∠FNC，
∴△DGM∽△CNF；

（2）延长FG、CD，交于点Q，如图1．
设AE=x，则BF=AE=x．
∵BE=2AE=2GD，
∴BE=2x，GD=x，
∴AD=AB=AE+BE=x+2x=3x，
EF=EB+BF=2x+x=3x，
AF=AE+EF=x+3x=4x，
AG=AD-DG=3x-x=2x．
∵AB∥QC，
∴△AGF∽△DGQ，
∴$\frac{AF}{DQ}$=$\frac{AG}{DG}$，
∴$\frac{4x}{DQ}$=$\frac{2x}{x}$，
∴DQ=2x．
∵AB∥QC，
∴△DMQ∽△EMF，
∴$\frac{DM}{EM}$=$\frac{DQ}{EF}$=$\frac{2x}{3x}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{DM}{DE}$=$\frac{2}{5}$．
由（1）可得△EAD≌△FBC，
∴DE=CF，
∴$\frac{DM}{CF}$=$\frac{2}{5}$．
∵△DGM∽△CNF，
∴$\frac{GM}{NF}$=$\frac{DM}{CF}$=$\frac{2}{5}$；

（3）过点F作FK∥DE，交DC于K，连接GK，交DE于H，如图2．
∵EF∥DK，FK∥DE，
∴四边形EFKD是平行四边形，
∴EF=DK，DE=FK．
∵$\frac{EF}{CD}=\frac{GD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{DK}{AD}$=$\frac{GD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠A=∠GDK=90°，
∴△GDK∽△EAD，
∴$\frac{GK}{ED}$=$\frac{GD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠GKD=∠EDA，
∴$\frac{GK}{FK}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠HDK+∠HKD=∠HDK+∠EDA=90°，
∴∠DHK=180°-90°=90°．
∵DE∥FK，
∴∠EMF=∠GFK，∠GKF=∠DHK=90°，
∴tan∠EMF=tan∠GFK=$\frac{GK}{FK}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EMF=30°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、正方形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，有一定的综合性，构造平行四边形EFKD是解决第（3）小题的关键，遇到线段比，通常联想到相似三角形，需熟练掌握．