Question

3．如图1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；
（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线段AC的黄金分割点（即$\frac{DC}{AD}$=$\frac{AD}{AC}$），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．

Answer 1

分析 （1）如图1，作线段AD的垂直平分线交AB于O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆；
（2）连接OD，如图1，利用∠A=∠ODA、∠CBD=∠A得到∠CBD=∠ODA，则可证明∠ODB=90°，然后根据切线的判定方法可判断BD为⊙O的切线；
（3）先证明△CDB∽△CBA得到CB²=CD•CA，再根据黄金分割的定义得到AD²=CD•AC，则AD=CB，接着证明△ADE≌△BCD得到DE=DC，易得四边形CDEF为矩形，然后根据正方形的判定方法可判断四边形DEFC是正方形．

解答 解：（1）如图1，⊙O为所作；

（2）BD与⊙O相切．理由如下：
连接OD，如图1，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠CBD=∠A，
∴∠CBD=∠ODA，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；
（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB=CB：CA，
∴CB²=CD•CA，
∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD²=CD•AC，
∵AD=CB，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
在△ADE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CBD}\\{AD=BC}\\{∠ADE=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCD，
∴DE=DC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴四边形DEFC是正方形．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握正方形的判定方法、圆的定义、圆周角定理和切线的判定方法；会利用相似比表示线段之间的关系，记住黄金分割的定义；会作线段的垂直平分线．