Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），它的顶点为M，且正比例函数y=kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点．
（1）求该二次函数的解析式和顶点M的坐标；
（2）若点E的坐标是（2，-3），且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）试探究：抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得：a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3），
即：y=x²-2x-3，
配方得：y=（x-1）²-4，
∴顶点M的坐标是（1，-4），
答：该二次函数的解析式是y=x²-2x-3，顶点M的坐标是（1，-4）．

（2）解：把E（2，-3）代入y=kx得：，
∴正比例函数的解析式为，
∵把正比例函数与二次函数的解析式组成方程组，
-x=x²-2x-3，
即2x²-x-6=0，
（2x+3）（x-2）=0，
x₁=-，x₂=2，
当x₁=-时，y₁=-×（-）=，
当x₂=2时，y₂=-×2=-3，
∴，，
所以，E（2，-3），
由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值，
答：根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围是-＜x＜2．

（3）如图，存在四个这样的点P，
即：以A为圆心，AC为半径画弧，交直线x=1于，两点，
以C为圆心，AC为半径画弧，交直线x=1于点P₃（1，0），
作线段AC的垂直平分线，交直线于点P₄（1，-2），
答：存在．点P的坐标是（1，）或（1，-）或（1，0）或（1，-2）．
分析：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），把（0，-3）代入即可求出a的值，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）把E（2，-3）代入y=kx即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案；
（3）分PA=PC、PA=AC、PC=AC三种情况，设出P的坐标，根据勾股定理即可求出PA、PC、AC，进一步求出P的坐标写上即可．
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想．