Question

5．已知抛物线y=ax²-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C．对称轴为x=1，顶点为E，直线y=-$\frac{1}{3}$x+1交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△BCE∽△BOD；
（3）点P是抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时．△BDP的面枳等于△BOE的面积？

Answer 1

分析 （1）在抛物线y=ax²-2x+c中，已知对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，可求出a的值；再将点A的坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，由此得解．
（2）首先由抛物线的解析式，确定点B、C、E的坐标，由直线BD的解析式能得到点D的坐标；在求出△BCE、△BOD的三边长后，由SSS来判定这两个三角形相似．
（3）△BOE的面积易得，而在（2）中求出了BD的长，由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离，如何由这个距离求出点P的坐标？这里需要进行适当的转化；首先在y轴上取一点（可设为点M），使得点M到直线BD的距离等于点P到直线BD的距离，通过解直角三角形先求出DM的长，由此确定点M的坐标，然后过M作平行于直线BD的直线，再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标．

解答 解：（1）抛物线y=ax²-2x+c中，对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{2a}$=1，∴a=1；
将点A（-1，0）代入y=ax²-2x+c中，得：1+2+c=0，c=-3；
∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．
（2）∵抛物线的解析式：y=x²-2x-3=（x-1）²-4=（x+1）（x-3），
∴点C（0，-3）、B（3，0）、E（1，-4）；
易知点D（0，1），则有：
OD=1、OB=3、BD=$\sqrt{10}$；
CE=$\sqrt{2}$、BC=3$\sqrt{2}$、BE=2$\sqrt{5}$；
∴$\frac{OD}{CE}=\frac{OB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，
∴△BCE∽△BOD．
（3）S_△BOE=$\frac{1}{2}$×BO×|y_E|=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
∴S_△BDP=$\frac{1}{2}$×BD×h=S_△BOE=6，即 h=$\frac{12}{\sqrt{10}}$．
在y轴上取点M，过点M作MN₁⊥BD于N₁，使得MN₁=h=$\frac{12}{\sqrt{10}}$；
在Rt△MN₁D中，sin∠MDN₁=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，且 MN₁=$\frac{12}{\sqrt{10}}$；则 MD=$\frac{M{N}_{1}}{sin∠MD{N}_{1}}$=4；
∴点M（0，-3）或（0，5）．
过点M作直线l∥MN₂，如右图，则 直线l：y=-$\frac{1}{3}$x-3或y=-$\frac{1}{3}$x+5，联立抛物线的解析式有：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+5}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.、\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{5}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{32}{9}}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{5+\sqrt{313}}{6}}\\{{y}_{3}=\frac{85-\sqrt{313}}{18}}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=\frac{5-\sqrt{313}}{6}}\\{{y}_{4}=\frac{85+\sqrt{313}}{18}}\end{array}\right.$，
∴当点P的坐标为（0，-3）、$（\frac{5}{3}，-\frac{32}{9}）、（\frac{5+\sqrt{313}}{6}，\frac{85-\sqrt{313}}{18}）$、$（\frac{5-\sqrt{313}}{6}，\frac{85+\sqrt{313}}{18}）$时，△BDP的面积等于△BOE的面积．

点评 该题考查的是涉及到抛物线解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及图形面积的解法等重点知识；最后一题中，由于BD不与x轴、y轴垂直，给解答带来了难度，但通过将BD边上的高进行适当转化，得出过点P且与BD平行的直线l的解析式是突破题目的关键．