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如图,有一块半径为5cm的半圆形钢板,计划截成等腰梯形ABCD的形状,他的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上.
(1)若等腰梯形ABCD的高为4cm时,求梯形的上底DC的长;
(2)写出这个等腰梯形周长y(cm)和腰长x(cm)间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)若腰长x(cm)限定为2≤x≤6时,分别求出等腰梯形ABCD周长的最大、最小值.
(1)过点D作DE⊥AB,CF⊥AB,连接OD,
∴ED=4cm,OD=5cm,
∴OE=
52-42
=3cm,
同理可求OF=3cm,
∴EF=6cm,
∵四边形DEFC为矩形,
∴DC=EF=6cm;

(2)如图,作DE⊥AB于E,连接BD.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ADB与Rt△AED中,∠ADB=90°=∠AED,∠BAD=∠DAE,
∴Rt△ADBRt△AED,
AD
AB
=
AE
AD
,即 AE=
AD2
AB

又AD=x,AB=10,
∴AE=
x2
10
cm,
∴CD=AB-2AE=10-2×
x2
10
=(10-
x2
5
)cm,
∴y=AB+BC+CD+AD=10+x+10-
x2
5
+x=-
1
5
x2
+2x+20,
由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,
x2
5
>0,10-
x2
5
>0,
解得:0<x<5
2


(3)∵y=-
1
5
x2
+2x+20=-
1
5
(x-5)2+25,
又∵2≤x≤6,
∴当x=5时,y有最大值25cm;
当x=2时,y有最小值23.2cm.
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2
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